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如果m和n都是正整数给定正整数n和正数m

2023-08-20 09:13:40 来源：互联网

1、辗转相除法开放分类：数学、最大公约数辗转相除法, 又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法。

2、它是已知最古老的算法, 其可追溯至前300年。

【资料图】

3、它首次出现于欧几里德的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。

4、它并不需要把二数作质因子分解。

5、证明：设两数为a、b(b＜a)，求它们最大公约数(a、b)的步骤如下：用b除a，得a＝bq�1＋r�1（0≤r�1＜b）。

6、若r�1=0，则(a，b)＝b；若r�1≠0，则再用r�1除b，得b＝r�1q�2＋r�2（0≤r�2＜r�1）。

7、若r�2＝0，则(a，b)＝r�1，若r�2≠0，则继续用r�2除r�1，……如此下去，直到能整除为止。

8、其最后一个非零余数即为(a，b)。

9、 [编辑] 算法辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数 a 和 b 的最大公因子的： 1. 若 r 是 a ÷ b 的余数, 则 gcd(a,b) = gcd(b,r) 2. a 和其倍数之最大公因子为 a。

10、另一种写法是： 1. a ÷ b，令r为所得余数（0≤r＜b）若 r = 0，算法结束；b 即为答案。

11、 2. 互换：置 a←b，b←r，并返回第一步。

12、 [编辑] 虚拟码这个算法可以用递归写成如下: function gcd(a, b) { if a mod b0 return gcd(b, a mod b); else return a; } 或纯使用循环: function gcd(a, b) { define r as integer; while b ≠ 0 { r := a mod b; a := b; b := r; } return a; } 其中“a mod b”是指取 a ÷ b 的余数。

13、例如，123456 和 7890 的最大公因子是 6, 这可由下列步骤看出： a b a mod b 123456 7890 5106 7890 5106 2784 5106 2784 2322 2784 2322 462 2322 462 12 462 12 6 12 6 0 只要可计算余数都可用辗转相除法来求最大公因子。

14、这包括多项式、复整数及所有欧几里德定义域（Euclidean domain）。

15、辗转相除法的运算速度为 O(n2)，其中 n 为输入数值的位数。

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